বৈজ্ঞানিকের দপ্তর-মাথে মে ট্রিকস-নয় নয় করে-সূর্যনাথ ভট্টাচার্য-বর্ষা ২০১৬

 

এই লেখার আগের সব এপিসোড একত্রে এই লিংকে

biggantricks (Medium)

সাতকাহন-এ সাত (৭) এর কথা ছিল। ‘নয়’ (৯) সংখ্যাটির মধ্যেও নয় নয় করে বেশ কয়েকটি মজা আছে।

প্রথমে দেখা যাক ৭-এর অন্যোন্যক কী হয়-

যেখানে,  দশমিকের পরে ১৪২৮৫৭ এই সংখ্যাটা অনন্তবার পুণরাবৃত্ত হবে। পূর্ণ সংখ্যা হিসেবে ১৪২৮৫৭ -এর বিশেষত্ব হল, এই সংখ্যার এক থেকে ছয় গুণিতকগুলিতে এই সংখ্যার অঙ্কগুলিই বিভিন্ন স্থানে শুরু হয়ে একই বৃত্তীয় ক্রমে ফিরে আসে-

১৪২৮৫৭ × ১ = ১৪২৮৫৭          ১৪২৮৫৭ × ২ = ২৮৫৭১৪          ১৪২৮৫৭ × ৩ = ৪২৮৫৭১
১৪২৮৫৭ × ৪ = ৫৭১৪২৮          ১৪২৮৫৭ × ৫ = ৭১৪২৮৫         ১৪২৮৫৭ × ৬ = ৮৫৭১৪২

তা, এতো সাতকাহনই হয়ে গেল! নয়-এর অন্যোন্যক কী দেখা যাক-

এখানে দশমিকের পর ১ সংখ্যাটাই অনন্তবার পুণরাবৃত্ত, সুতরাং নয়টা ১ নিয়ে যে পূর্ণসংখ্যা, সেটাও তাই। এই সংখ্যার একটা বিশেষত্ব বর্গ করলেই দেখা যায়¾ ১১১১১১১১১ = ১২৩৪৫৬৭৮৯৮৭৬৫৪৩২১, অর্থাৎ ১ থেকে ৯ প্রথমে বর্ধমান ক্রমে ও তারপর ঘটমান ক্রমে লিখলে যা হয় তাই!

এর পরেই সোজা খেলায় চলে যাওয়া যাক।

 এক

এক থেকে নয় অঙ্কগুলোকে বড়ো থেকে ছোটো ক্রমে লিখলে পাওয়া যায় ৯৮৭৬৫৪৩২১। এই সংখ্যাটির এক থেকে নয় গুণিতককে নয় গুণ করলে একটা বিশেষ বিন্যাস পাওয়া যায়-

৯৮৭৬৫৪৩২১ × ১ × ৯ = ০৮৮৮৮৮৮৮৮৮৯
৯৮৭৬৫৪৩২১ × ২ × ৯ = ১৭৭৭৭৭৭৭৭৭৮
৯৮৭৬৫৪৩২১ × ৩ × ৯ = ২৬৬৬৬৬৬৬৬৬৭
৯৮৭৬৫৪৩২১ × ৪ × ৯ = ৩৫৫৫৫৫৫৫৫৫৬
৯৮৭৬৫৪৩২১ × ৫ × ৯ = ৪৪৪৪৪৪৪৪৪৪৫
৯৮৭৬৫৪৩২১ × ৬ × ৯ = ৫৩৩৩৩৩৩৩৩৩৪
৯৮৭৬৫৪৩২১ × ৭ × ৯ = ৬২২২২২২২২২৩
৯৮৭৬৫৪৩২১ × ৮ × ৯ = ৭১১১১১১১১১২
৯৮৭৬৫৪৩২১ × ৯ × ৯ = ৮০০০০০০০০০১

প্যাটার্নটা পরিষ্কার! প্রতিটি গুণফলের প্রথম ও শেষ অঙ্ক মেলালে ৯-এর গুণিতকগুলি পাওয়া যায়। আর মাঝখানের নয়বার পুনরাবৃত্ত অঙ্কটি ও সংশ্লিষ্ট গু্ণিতকের সমষ্টি সর্বদাই ৯ !

দুই

১২৩৪৫৬৭৯-কে যে কোনও একটা এক অঙ্কের সংখ্যা দিয়ে গুণ কর। ধর তুমি ঠিক করলে এক অঙ্কের সংখ্যাটা ৩। তাহলে গুণ করে পেলে, ১২৩৪৫৬৭৯ × ৪ = ৪৯৩৮২৭১৬।

একে নয় দিয়ে গুণ করে দেখ তো–

৪৯৩৮২৭১৬ × ৯ = ৪৪৪৪৪৪৪৪৪ !

এ তো যে এক অঙ্কের সংখ্যাটা ধরেছি, তারই ছড়াছড়ি, মানে ন’-ন’টা! আর, সাতকাহনের মতো, এটা কিন্তু কোনও কাকতালীয় ঘটনা নয়।

১২৩৪৫৬৭৯ × ২ = ২৪৬৯১৩৫৮ > ২৪৬৯১৩৫৮ × ৯ = ২২২২২২২২২
১২৩৪৫৬৭৯ × ৫ = ৬১৭২৮৩৯৫ > ৬১৭২৮৩৯৫ × ৯ = ৫৫৫৫৫৫৫৫৫
১২৩৪৫৬৭৯ × ৮ = ৯৮৭৬৫৪৩২ > ৯৮৭৬৫৪৩২ × ৯ = ৮৮৮৮৮৮৮৮৮ …

এবং এইরকম আরও সব।

সাতকাহনেরই মতো, এও কিন্তু মোটেই কোনও ম্যাজিক নয়, যদি আমরা দেখি ১২৩৪৫৬৭৯ × ৯ = ১১১১১১১১১, এই সত্যটা। একে যে কোনও এক অঙ্কের সংখ্যা গুণ করলে আর কি হবে? যা পেয়েছ তাই।

 তিন

আমরা জানি, যে কোনও সংখ্যার অঙ্কগুলোর সমষ্টি নয় অথবা নয় দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটিও নয় দ্বারা বিভাজ্য হবে। সমষ্টি যদি এক অঙ্কের বেশী হয় তাহলে তার অঙ্কগুলি আবার যোগ করা যেতে পারে। এইভাবে যতক্ষণ না এক অঙ্কের সমষ্টি পাওয়া যায়, ক্রমান্বয়ে অঙ্কের সমষ্টিকরণ করাকে নয়ের রহিতকরণ বলা হয়, ইংরাজিতে যার নাম ‘কাস্টিং আউট নাইন।’

নয়ের যে কোনও গুণিতকের নয়-রহিতকরণ করলে সর্বদাই ৯ পাওয়া যায়। বিপরীতপক্ষে, কোনও সংখ্যার নয়-রহিতকরণে যদি ৯ আসে, তাহলে ঐ সংখ্যা নয় দ্বারা বিভাজ্য। যেমন¾

৬৩ > ৬+৩ = ৯
১৭৯১ > ১+৭+৯+১ = ১৮ > ১+৮ = ৯
৬৭৭৩৪ > ৬+৭+৭+৩+৪ = ২৭ > ২+৭ = ৯

অতএব, ৬৩, ১৭৯১, ৬৭৭৩৪ সংখ্যাগুলি ৯ দ্বারা বিভাজ্য।

কোনও সংখ্যার নয়-রহিতকরণে নয় ব্যতীত অন্য সংখ্যা পাওয়া গেলে বুঝতে হবে সেই সংখ্যা নয়ের গুণিতক নয়। সেক্ষেত্রে, নয়-রহিতকরণে যে অঙ্কটি পাওয়া গেছে তা আর কিছুই নয়, ঐ সংখ্যাকে নয় দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগশেষ থাকে তাই। যেমন, ৮৭৬৮ নয়-রহিতকরণে পাওয়া যায় ২¾

৮+৭+৬+৮ = ২৯ > ২+৯ = ১১ > ১+১ = ২

৮৭৬৮ কে ৯ দিয়ে ভাগ করে সহজেই যাচাই করা যায়, ভাগশেষটি সত্যিই ২! একইভাবে বলা যায় ৭৩৪ ও ৮৭৯ কে ৯ দিয়ে ভাগ দিলে যথাক্রমে ৫ ও ৬ ভাগশেষ থাকবে, কারণ¾

৭+৩+৪ = ১৪ > ১+৪ = ৫ এবং ৮+৭+৯ = ২৪ > ২+৪ = ৬।

নয় সংখ্যার মজা হল, যে কোন একটা গুণ অঙ্কে, গুণ্য ও গুণকের নয়-রহিতকরণে যে দুটি সংখ্যা পাওয়া যায়, তাদের গুণফল ঐ সংখ্যাদুটির গুনফলের নয়-রহিতকরণে একই সংখ্যা পাওয়া যাবে! ওপরে দেখানো ৭৩৪ ও ৮৭৯ সংখ্যাদুটির জন্যে এটা দেখানো যায়¾

৭৩৪ × ৮৭৯ = ৬৪৫১৮৬

এখন, ৬৪৫১৮৬-এর নয়-রহিতকরণে পাই ৩¾

৬+৪+৫+১+৮+৬ = ৩০ > ৩+০ = ৩

আগেই দেখানো হয়েছে সংখ্যাদুটির নয়-রহিতকরণে পাই ৫ ও ৬, যা গুণ করে হয় ৩০, অর্থাৎ নয়-রহিতকরণে সেই ৩!

বড় বড় সংখ্যার গুণফল সঠিক কিনা যাচাই করবার এ এক সহজ উপায়। যেমন, এই উপায়ে গুণ অঙ্কটি না করেই বলা যায় যে ৫৬৫৮৯ × ৯৮৩৬৭৮ = ৫৫৬৬২৩৫৪৩৪২ এর গুণফল সঠিক নয়। দেখ দেখি?

চার

দুই বা তার বেশী অঙ্কের যে কোনও সংখ্যাকে ৯ দিয়ে গুণ করার এক অদ্ভুত খেলা আছে। একটা বেশ বড়সড় সংখ্যা ধর, ৮৯৫৫৪৩৬-এর সাহায্যে, একে ৯ দ্বারা গুণ করার পদ্ধতিটা নীচে দেখানো হল¾

ক্রম প্রক্রিয়া উদাহরন ক্যারি
দশ থেকে এককের অঙ্কটি বিয়োগ কর ১০ – ৬ =
দশক থেকে শুরু করে বাকি অঙ্কগুলি ৯ থেকে বিয়োগ কর ও বিয়োগফল গুন্যের আগের অঙ্কটির সঙ্গে যোগ কর
(যোগফল দুই অঙ্কের হলে এককের অঙ্কটি রেখে দশকের অঙ্ক পরের সংখ্যার জন্য ‘ক্যারি’ কর)
৯ – ৩ = ৬, ৬+৬ = ১২ ।
৯ – ৪ = ৫, ৫+৩ = ৮, ৮+১ =
৯ – ৫ = ৪, ৪+৪ =
৯ – ৫ = ৪, ৪+৫ =
৯ – ৯ = ০, ০+৫ =
৯ – ৮ = ১, ১+৯ = ১০ ।





সবচেয়ে বাঁ দিকের সংখ্যা থেকে ১ বিয়োগ কর ৮ – ১ = ৭, ৭+১ =
উপরের উত্তরগুলো বিপরীতক্রমে সাজালেই উত্তর ৮৯৫৫৪৩৬ × ৯ = ৮০৫৯৮৯২৪

প্রক্রিয়া মোটেই সরল নয়, তবুও অঙ্কের মজাটা আছে। তাই না?

পাঁচ

যে কোনও এক বা দুই অঙ্কের সংখ্যা, যার এককের ঘরে ৯ আছে, সর্বদাই তার অঙ্কগুলির যোগফল ও গুনফলের সমষ্টি! যেমন¾

৯ = (০×৯) + (০+৯)                  ৪৯ = (৪×৯) + (৪+৯)      ৭৯ = (৭×৯) + (৭+৯)

ইত্যাদি। যদিও প্রথমটা একটু অবাক লাগে, একটু ভাবলেই এর রহস্য পরিষ্কার হয়ে যায়। কেননা, যেহেতু সংখ্যাটা (১০ক+৯) এই আকারের, তাই¾

১০ক+৯ = (৯ক) + (ক+৯) । সহজ, নয় কি?